fundamentos de matemáticas universitarias pdf

Ejemplo 27 1 dv Sea v = ----- 7r R 7 •h, calcule-----3 dt d dt M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S x= 3 = (jc3 - 2jc+ 1) i paralela a la Ejemplos 1. f 2)[1 X a] + [ ( - l ) X ü] = O X b WebAsí, cada capítulo, ofrece una introducción clara, sencilla y general de la teoría matemática correspondiente, utilizando ejercicios y problemas aplicados y contextualizado según las … 24 a15 ~ t — y c son números reales, y a c (2 ) 1 2x] Ejemplo 4 v * + 13 - V 7 - * = 2 y/x+ 13 = 2 + \/7 —x Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical del miembro izquierdo. 1 radianes 3. q { ± 1 , ± 2 } , entonces las posibles raíces son: M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 2 V * “ 2 — V * —1 3 y i J « r . ' Esto quiere decir que tod o este intervalo es negativo, luego el intervalo (— « , —5) es positivo y el intervalo (2, « ) tam­ bién es positivo. 6.5 R . Ejercicios y problemas 55 1. x2 - 9 = (* + 3) (jc — 3) 2. Ejemplo 8 Resuelva ||3 — a |— 12 1< 6 entonces Figura 8.2 Intervalo cerrado. dB -------- k B dt -2 V3a:+ 16 — V2a: + 5 = —1 km IN E C U A C IO N E S jc3 , 6x y 1 Una expresión como la inicial, que contiene fracciones en el numerador y/o en el denominador, se denomina fracción compleja y puede también re­ solverse mediante la siguiente regla: es el índice de la raíz 3. a) x -2 6) radianes -1 7 4 .0 5 -8 9 4 .0 1 o simplemente & dx 2 = al2 a22 Si y = / ( jc ) , entonces tenemos una función explícita en términos de x, ejemplo: y = y/x+ 1. 82 M A T E M A T I C A S U N I V E R S I T A R I A S Ingreso: R Continue Reading. [ - 2 , 00) - A2 - -2x? La demostración es similar a la del caso anterior. 2 29a: ( 3 ) = - 7 (5) 87 x = - 35 * 6.4 En nuestro caso sabemos que f " ( x ) = 6.x — 8; por tanto f será cóncavo hacia arriba con los x en los que 6 * — 8 > 0, y cóncava hacia abajo en los x en los que 6x — 8 < 0. o El conjunto A es el dominio de la función. d) y/152 e) \/5xy f) c) 2 c) X 2 + (jc — 3) (jc — 1) jc(4jc+ 7) _ 2. En matemáticas la representación de los números reales com o puntos de una recta es de suma importancia. - 3 Graficando, mX 1 . { = -3 1 x =— 362 En el plano cartesiano es posible representar un par ordenado de núme­ ros reales (x, y) en donde x representa la distancia del punto al eje Y, y y re­ presenta la distancia del punto al eje X . , 1 3 9 ± 1 , ± 3, ± 9, ± - , ± - , ± j Utilizaremos la división sintética para verificar cuáles de las anteriores son raíces de P(x). X A + fila 1 fila 2 fila 3 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S ¿Qué fracción de tostadores puede esperarse que se descompongan antes de un año de uso? | * 13 14 1 no existe -1 1+ 2x — 4 — 3x + 9 (x — 3) ( x — 2) 3* —x 2.2 Ejemplos C = [—1 0 1 —1 de orden 1X6 = Fuente: www.utm.edu.ec [PDF] Tipo de … 32*1 a y* Si un día después hay 95 moscas, a) Fondo Educativo Interamericano. 2 14. 4. 6x2 - 8 x - 6 - 3 x 2 + 14xy - Ix + 4 4a2 + c3 —4y4 —2x2 —5xy + 4y2 El inverso aditivo de 0 es 0 porque _6_ 0. P Vq ¿Cuáles el idéntico de ( x ) ? jt Son trascendentes 2 eos2 « , log (x + 1), e . A '1 du 1 S) Simplificación de fracciones y% — y\ B b) ¿Qué fracción de tostadores puede esperarse que se descompongan durante el tercer año de uso? ¿Es * asociativa enffi? luego [4,6] n [3,8) = [3,6] entonces t - f , 5 ]U [3,6] 1 q : ^P Como en el ejercicio anterior ' V r V q e s equivalente a r -*• q, las premisas serían. Referencias Larson - Hostetler. \/ jc+ 1 — 1 g) Lím T V Estas relaciones se denominan iden­ tidades trigonométricas y algunas de éstas son: Identidades trigonométricas básicas La gráfica muestra el área bajo la curva. Los conceptos de la sección anterior pueden extenderse para calcular el área de una región entre dos curvas, com o se muestra en la Figura 14.2. m En este caso, sea x el costo de producir un artículo, luego (2jc — 100) es lo que se recibe por cada artículo vendido. 2 (—10) ii) Cociente de los coeficientes, que se obtiene dividiendo el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. = [—5, °°) b) f 34 n g) 3 F O R M U L A S F U N D A M E N T A L E S D E IN T E G R A C IO N cuyos elementos son utilizados para contar, recibe el nombre de números naturales y se representa por: N m 0 10,000 £1 + 'v q ) f jc 1 0 0 (b * —7 - x 5 4 x 2m3 Tomando u = jc3 y v = y « - >4 p - ’-q McGraw-Hill. 1 Xn 3 es equivalente y-y-y 4. + 2 0 * 3 + 2 5 *1 - 2 0 0 * + c e) -1 2 Aproximadamente 53.77 minutos. Consideremos la siguiente ecuación que permite encontrar la distanci recorrida por un móvil en un tiempo f. x ( t ) = 100+ 5 0 t - t J En este caso particular la razón de cambio promedio, 8. 1 0 Ahora hallaremos la ecuación de la recta. (precio por cada revista) = Lím Ax->-0 0.33 0.25 0.125 x = Como se observa en la figura y se explicará más adelante, no se presenta el caso en que una gráfica tenga simultáneamente asíntota horizontal y obli­ cua. 5 , si Halle la ecuación de una recta tangente a la curva y = — y x recta x + 2y — 6 = 0. b) 2. a) 20En ningún caso el extremo donde se coloca « 6 — oc se debe cerrar. La implicación (-»■) sólo es falsa cuando el consecuente es falso .3 Ejemplo 4 Construir la tabla de verdad de (p A ^ p) -►q 'V P e) = U * , y ) / * 2 + y 2 = 25} P A P *-*■ P dJWAWAV 26 [ 2x — y + 4z — 1 = 0 | 3* + 2y — 5z + 4 = 0 ( 5 * + y —¿ + 3 = 0 4 ( jc ) x1 + y2 = R2 = e) g) Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250 m3 El material para el suelo y la tapa de la caja cuestan $75 pesos por me­ tro cuadrado y el material para los lados cuesta $50 pesos por metro cuadrado. 3. Recuerde que: 1. $ 508,330 = 20,000* —0.S*2 ‘ i.ím Lím Lím g(jc) = B, — jc3 + 4*1+ 6 f ( jc 3 — 2 = n 2 air • r= 1 Para ajmdar a recordar su fórmula, tenga en cuenta que el denomi­ nador es el producto de los enteros desde 1 hasta fe. -2 28 LA D E R IV A D A Trace las gráficas de las siguientes funciones: a) y = x 4- — 3 b) y = —2.x + 5 c) d> x ( t + A t ) — x(t) _ Temperatura ambiente : —6.5°C 11. a) (1) i-x 2 (1 + x2)2 Encuentre el valor de fe para que en el intervalo [1, fe], f(x) = 8jc + 3 sea una función de probabilidad continua. [y = * — 4 [y = - * 2 + 8 5.4 ¿Por qué no es la sustracción una operación binaria en el conjunto de los enteros positivos? Tal como se observa en la gráfica, la función parte entera es escalonada. JC2 y ,, Capítulo 12 1. a) g) x= 4 d) Nombre un conjunto en el cual la división sea una operación bina­ ria. B = En este caso el área bajo la curva y el eje X es menor que el área por encima de la curva y el eje X. co 31 300,000 V a f Ejemplo5 Resuelva: (2x)2 _ 4x2+ 3x+ 2 x+ 1 (2x)2 —10 (¿C+ 2) 71 7T - Marketing Internacional, 16va Edición Philip R. Cateora LibrosVirtual. x -2 1 --------- < — — 3 2 9 V (í = 2) = 30.4 m/seg 142 Lím f (x) ±g (x ) c) l + a2 (a3 + 1) (5 —>fx) ^X C,porR5 Sea S el conjunto de los números reales R. Entonces, la adición y la multiplicación son conmutativas en R porque, para todos a y b, a Observe que independientemente del método que se use, el objetivo de todos los métodos es obtener una ecuación de una variable cuya solución es muy sencilla. Ejemplo 7 Sea f: A-+ B, la función definida por f(x) - x + 1, con A = |1, 2, 3, 4, 5, 6 | y B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 } .En este caso: f( 1) = 1 + 1 = 2 f( 2) = 3 A3) = 4 y WebMATEMATICAS UNIVERSITARIAS Cuarta edicién Carl B. Allendoerfer Profesor de Matematicas University of Washington Cletus O Oakley Profesor y jefe del departamento … 1 ( l ) ( 11 / — Y F(x) = La pendiente de una recta indica el grado de “ inclinación” de la recta, y formalmente se define así: cambio en y Ay m = pendiente = -------------------- =-------cambio en x Ax luego, la pendiente es la razón que existe en la recta entre Y y X . g) -2 Son ecuaciones cuadráticas o de segundo grado: a:2 + 5a: + 6 = 0 a? — , o) 19 1 7T Solución a) Sea * el número de días de venta, y sea y el número de artículos en bode­ ga; entonces y = 1,386 - 42* b) Siy = 336, 336 = 1,786 = 42* 4 2 * = 1,050 * = ^ = 2 5 42 Tendría que realizar el pedido al cabo de 25 días. Observación: 1 n/2"+ V 2" Lim x^O V (v^ 2 + V 3 )-(n /5 ") Ley distributiva: (p A q) V r 3 la inversa de A es: " 2 1 - 6 Ejercicios y problemas Si a > b y c < 0, entonces a • c < b • c C = Entonces, el conjunto solución es y = — y ¿A qué precio debería vender el vino el comerciante para obtener el mayor beneficio posible? ^ y 8 jc— 3 Escribir una ecuación que represente la cantidad que se quiere maximizar (o minimizar). = x 3 + 3*2 + 1 x /T 3 2 — y — 5 5 1-41 I -2 • v'2 xi y 3 c) Obtener la segunda derivada y de los posibles puntos de inflexión. —4, —3, —2, —1 se le llama conjunto de los enteros y se representa por 2 2 = Observe que entonces 1 2 Derivada de la función constante La derivada de la función constante y = f(x) = k es: Vx±2 p) +-»• p Por tanto, A es ahora: 1 2 6 1— 0 , YxEY, jc — 2 2 En todos los casos lo que se da es una orden. Df = Resumen x-*a Figura 12.3 El Lfm f( x). 2y = j y De manera similar podemos obtener una ecuación para la aceleración, como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Si a ¥= 0, entonces a2 > 0. Encuentre los precios de los cigarrillos en Suburbia. 375 6. a ° 6 < 0 si, y solamente si, (a < 0 y b > 0) ó (a > 0 y b < Q) 9 a 22 [ : (4x2 - x ) ( x + 3) (x + 2) (x + 1) ( 2 x - 3 ) ( x 3 - x 2 - 2 x - 3) punto de inflexión . M ATRICES 179 i ] Aria, Jagdish. El procedimiento a seguir en este caso es llamar x la cantidad dada y a la otra x±k. =0 L A IN T E G R A L Reducir significa reunir en uno solo varios términos. AR q Lím f(x) existe, y 3. f(c) = Lím f(x) x-+ c © Solución: a) Por (6.5) R = xp remplazandop, se obtieneR - *(1,400 — 40*), luego, 12,000 = *(1,400 — 40*) 12,000= 1 , 4 0 0 * - 40*2 ordenando la ecuación, 40*2 - 1,400*+ 12,000 = 0 ! 3. -2 x + Ay —9= 0 16 ] 267 e) Al caer una gota esférica de lluvia, alcanza una capa de aire más seco en los niveles más bajos de la atmósfera y comienza a evaporarse. 7-6-5 -------------------3-2-1 e $ = 1.395612 2 2. mX 52 1 01 0 1 0 i ✓ í Sin embargo, podemos calcular 2 + 5 + 8 agrupando (2 + 5) + 8 2 1 2 3 e) 1,200,000 + 0 .1( 10,000)1 g) x 3 — 2 * + 3 y de g(ac) = x 3 + 3 S(x) = ^ - x - 3 2 c) 5 \ fx ir z - 3 2 3 + V I + 2x b) y '= 6xs —1 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 1 A* = x 2 — * x -1 8 < *< -2 h: 2. r x . b) r 2x+ y + 3. y = y 0+ A P L IC A C IO N E S D E L A D E R I V A D A (— a , b) = \ X £ R / X < b ) du , , • — — o y ( * ) = y ( u ) - u (*) dx 1 Lím f(x) = —2 x -+ —1 — 5x + 6. 20 — x 0 2 Ejemplo 23 La siguiente ecuación, C(x) = 1,200,000 + O .lx5, representa el costo para producir x unidades, que determinada fábrica vende según la siguiente ecua­ ción de demanda: x = 100,000 — 5p a) ¿Cuál es el costo promedio de producir 10,000 unidades? Para verificar que f(x) = 2x es de probabilidad continua, debemos mos­ trar que se cumplen las dos condiciones de la definición. , . El factorial k ! De hecho, no todos los polinomios tienen raíces racionales, por ejemplo, la raíz de jc2 + 3x + 1 = 0, es -3*^ 5 ------ , que corresponde a un número irracional. Funciones O B JE T IV O S . Calcule y y '' y y t.i 182 Como se observa en la figura anterior la función logaritmo natural es siempi creciente, corta al eje X en 1, tiene como dominio el conjunto de los real» positivos y como codominio los números reales, y es tal que In e = 1 . f Recuerde que: 1. 2 5 =6 x ~4 + — x~i~ — 8x~3 dx 2 0 Hacemo notar que esta propiedad se aplica cuando el exponente corresponde a la va riable. M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S Ct = lim (1 + — 7— f n- ~oo \ 100 n j Resumen - g) h) 8) = . a) 2x + 3y = 720 b) 180 M A T E M Á T IC A S U N IV E R S IT A R IA S = a) Si * = + , entonces (3, 4) -* 7 que usualmente escribimos 3 + 4 = 7 b) Si * = X, entonces (2, 5) -*■ 10 que escribimos 2 X 5 = 10 c) Si * = —, entonces (2, 5) ¥= (5, 2) dado que 2 — 5 ¥= 5 — 2 d) Si * = —, entonces (7, 10) -►—3. ( v T + n/ 3 ) ( V 2 Í ) 4,492,000 / /= «* Ningún gato es blanco 4. De igual manera, tomando u = f(x) y v = g(x), se puede escribir de nuevo como du V 180 LECTURA S, se llama con frecuencia el conjunto solución y es por consiguiente el conjunto de verdad de la proposición definida por la ecuación dada. x p entonces: 1 2 El cálcu­ lo de integrales más complejas está fuera de los objetivos de este libro. p 3 3 —— = —— V2 v 2 JL 8" M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS b) Esta matriz reducida nos permite encontrar fácilmente la solución al sis­ tema, ya que ésta representa al sistema: x + 4y + 3z = 10 y + z = 3 z = -6 Utilizando el método conocido como “ solución en reserva” , obtenemos: 1 2 — 2 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss. Aunque un número real es un objeto matemático bien definido, pode­ mos, sin embargo, representarlo de muchas maneras. Un granjero quiere construir un corral rectangular y dividirlo por una va­ lla paralela a uno de los lados. 186 P~M X — y/T V !? •• M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 1 4 3 S) Un hombre está en una lancha en el mar a una distancia de 2 km deu punto A de la playa, y debe ir a un punto B de ella situado a 9 km de A como se muestra en la figura. x2 y 4 —y2 = 3 Calcule el área de la región limitada por las curvas/^jc ) = g(x) = 3 jc + 3 . 8 Ti p) 3x? 9-V 47 i 8* 1 3. 4 [ -3 0 La siguiente definición nos introducirá al concepto de desigualdad. - a tiene inverso si a ^ —1 . r 2 (4 x )(y) luego para reconocer cuándo una expresión es un trinomio cuadrado per­ fecto, debemos verificar que en dicha expresión dos de los términos sean cuadrados perfectos (ambos positivos o ambos negativos) y el otro término sea el doble producto de las raíces de los dos anteriores. drm M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 1. _i1_ velocidad media y la representaremos por V , así: Y _ = Ejemplos 5 40 - = - 3 + 3 = M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 5. 2 Ax2 + x + 2 —4x + 11 -2 0 * b) a > b y c < 0, entonces a < b c Suponiendo que la demanda es lineal, 1) encuentre la ecuación de la demanda, 2) el número de kilos demandados a un precio de $19,000. A continuación describiremos las clases de matrices que se utilizan con mayor frecuencia. < 3 25 F U N C IO N E S en donde cada casilla debe llevar un signo (+ o —), de acuerdo con los valo­ res que toma cada factor en los respectivos intervalos. x —2 174 2x2 Introducir a los estudiantes en los fundamentos de las matemáticas. M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S Budnick, Frank. Sin embargo, es posible que exista alguna confusión porque se puede considerar que —1 es un exponente negativo. ^ = (-0.0001216) y dt 5 d) < a) f3 I '1 ( jc ) , „ . 24. a) U(x) 4. x 2 - 2 = (* + VT) ( x - v / 2 ) d) Completación del cuadrado perfecto No todos los trinomios son cuadrados perfectos, asi, a* + a2 b7 + b4, no es un cuadrado perfecto, ya que, aunque existen dos cuadrados perfectos, el tercer término no corresponde al doble producto de las raíces de los cua­ drados. x = 0 C, = C e a | P(x) con coeficientesenteros, (en este caso multipli­ -5 -V Í3 Xí = -----g—— f) 1 _ V -2 0 — ¡2 i »h) 4X3+x 4 5 a) ER-F-004. Dibuje la gráfica de y = 2~ * y compárela con la gráfica de y = 2*. 119 4. y = 3* — 2 ; y = 3* + 2 5. La forma general de la ecuación lineal con dos variables es: y = ax+ b V Related Papers. Ejemplo 1 15 x 2 y 3 La parte variable, en el ejemplo, consta de dos variables: x y y. Composición de funciones: a) aM i*«# *Í¡Ílite,1 4 2 v*(tfc*4fcia,141 Pendiente, 136 de una curva, 303 Plano cartesiano, 51 Polinomio, 135 constante, 135 Polinomios, 57, 70 cuadráticos, 140 lineales, 136 Potenciación, 81 Premisa, 27 Primitiva, 312 Probabilidad continua, 324 Producto cartesiano, 201 Productos notables, 63 Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición, 42 Proposiciones lógicas, 21 leyes de las, 26 Punto de equilibrio del mercado, 125 Punto-pendiente, 348 Puntos críticos, 282 Puntos de inflexión, 282 Puntos óptimos, 291 Racionalización, 91 Radián, 342 Radicación, 81 Radicales, 87 Raíces de una ecuación polinómica, 143 Raíces racionales, 147 Rango, 202 Regla de la cadena, 269 mientras que v (—9>5 = >/m Vb 1 r*n (por 5.1) bn - 366 k —►OO -6 ) O [1, 2]. Lím x-* 4 2 A los números decimales que, com o n, son NO periódicos, se les deno­ mina números irracionales. B se puede representar así: B = 0 Matriz cuadrada: Se denomina así aquella matriz donde el húmero de fi­ las es igual al número de columnas. M A TEM ATIC AS UN IVERSITARIAS 1 V2 ay2 + y 3 = 5 + x 3 dy Es claro que para calcular —— necesitamos un procedimiento en el que dx no tengamos que despejar “ y ” ; éste se denomina “ Derivación implícita” . ) Al finalizar el presente capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. 6.9 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S / —— I 7 x4 r3 f _3 (por ley de implicación) luego Lim *-* 0 ¿Cuál es la altura máxima a la que sube el proyectil? máximo (4) = (jc_1 )4 (por 5.2) = ar1 6 T Ejemplo 12 Mensualmente una compañía puede vender * unidades de cierto artículo a p pesos cada uno, en donde la relación entre p y * (precio y número de artícu­ los vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: P = 1,400 — 40*. = (9a2* 2 - 2 7 a 2 + x 2 - 3) (*2 + 2*) = 9a2* 4 — 27a2x 2 + a* - 3 ^ + 18a2* 3 - 5 4 a 2* + 2X3 - 6 x = rf4 + 9a2* 4 + 2X3 + 18a2* 3 - 3x? 4. A = 31 Recuerde que utilizamos el símbolo °° para representar una cantidad m u y grande. 1975 14 -1 5 r _ 2 t) 8 1 (q “*■r) ] «-► [ (P A ~ r) d dx 1 Para todo a, existe —a, tal que a + (—a) = (—a) + a = 0 15. Calcule la derivada de las siguientes funciones implícitas: 800 Matemáticas finitas. > y jc — fila 1 fila 2 fila 3 Fondo Educativo Interamericano. Métodos matemáticos para economistas. h) i (2,2) (2,3) LA D ER IV A D A WU = Teorema 2 . 275 Ejemplo 4 En la ecuación p = 30,000 + 200*, calcule el incremento sobre p, Ap, al rea­ lizar sobre x un incremento Ax. u. — A un precio de $600, ¿cuál es el ingreso marginal? d> * —3 x 2 + 2 * — fe -1 ¿Cuál será la venta después de un mes más? tiene al cabo del primer período de tiem po una población de: Pt = P { 1 + 15. a) 4 millones 16. 1 : V I T - 0 1 1 e 35p + 10,000 = 0 6JC2 — VT25 ac —bd Uno de los negocios le produce el 3% y el otro solamente el 1%. 3. x+ y Sin entrar a demostrar formalmente, podemos decir que: (am )n = am'n Ejemplo 9 Como (x — 3) (* — 2) = x 1 — bx + 6, entonces x = 3 y x = 2 son raíces del polinomio P(x) = x? Las operaciones usuales de la aritmética, tales como 2 + 3 = 5, 4 X 5 = 20, 8 — 6 = 2 y 10 -í- 5 = 2, se llaman operaciones binarias porque, si escogemos dos números cualesquiera, la operación genera un tercer número. y" (i) . Resolver ejercicios con expresiones algebraicas cuyos exponentes sean números enteros positivos, negativos y fraccionarios. Todas estas tasas de cambio instantáneas soh casos partícularés de lo que se conoce en cálculo com o la derivada de una función, que definimos a con­ tinuación: Definición 6: Sea y = f(x) una función cualquiera. _ i __ RESPUESTAS 1 20 + 16 = 0 0 = 0 Caso 1: La expresión a racionalizar tiene un único término. puerto libre de Utopía no existen impuestos y, por tanto, cada pa­ quete de cigarrillos cuesta $25 pesos menos que en Suburbia. Para todo a G R, a + 0 = 0 + a = a 1■■ -o2 178 J _ V 5 123 establezca la relación R “ ser múltiplo de” de E -* H, determine el domi­ nio y el rango de Ra, y haga el diagrama de Ra . La raíz de la ecuación polinomial mx + 6 = 0 representa el corte de la recta con el eje X. 12.7 La regla de la cadena La regla 12.1 para una potencia, se utiliza cuando la base sea x, com o en y = jc = Entonces, tendríamos que 0 X a = 1. 1. (3x - l)^9x2 + 3x + 1) (x + 5) (x* - 5x + 25) (* + 3 + x)Vft+ 3 —x) x(x + 4y) (2x —y) y ( x - 3 y ) ( x + ^y) (x —2y + 5 )(3 x —y + 4) LA D ER IVA D A L A IN T E G R A L 3 35 1 = 312 + H A = x* En el ejercicio anterior obtuvimos la inversa de A . 0" 0 1 ii) El de los enteros, com o por ejemplo —2, 0, 4. 1000 por periódico y 150 por T.V. = g(f(x)) 3 = e0Mt 26 Aunque las propiedades están enunciadas para logaritmos naturales, éstas se cum píen para los logaritmos en cualquier base. .) Luego el cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cua­ drado del segundo. 0 140,000 40,000 ••- ka2n (Sx + 5)2 - ( 2 x - l ) 2 = [ (3 * + 5 ) + ( 2 * - l ) ] X [ ( 3 x + 5 ) - ( 2 * - l ) ] = (5x + 4) (* + 6) Lím f(x) x-+ 2" LA D E R IV A D A La vida media del uranio radioactivo es de 4500 millones de años. Observe que se debe excluir a —3 del dominio de la función ya que este valor la indetermina. \/x+ Ax (\/x+\/x +Ax) 5. 2 V |x/a < x < ó) Un subconjunto del producto cartesiano AXB es una relación r de A en B. Las parejas orde­ nadas de dicho subconjunto satisfacen la con­ dición dada por r. El conjunto de todos los primeros componentes de una relación, que pertenece a A, se llama dominio. 2. 11. 1 Equivalencia (■*-*) (2V á ) 2 ~ { V b ) 2 m(*-*o) A + B = 5 " TT 2 g) d(y2 + 2*3) dy ---------= 2y — — + 6x dx dx Se asume que “ y ” es una función que depende de x. dy Para calcular —— en una función implícita se deriva en ambos miemdx dy bros de la ecuación con respecto a x y se despeja de la expresión obteni­ da: da. 2 REALES ( R K ^ ^ O r a c i o n a l e s (Q) ENTEROS (Z) NATURALES (N) 30 tt rH 140 3. Las funciones de los casos 2 y 3 de la Figura 12.4, pueden volverse continuas; en cada uno basta con ha­ cer f(c) = L, para que se cumplan las tres condiciones de continuidad. A en este caso, hemos eliminado el radical del numerador. inecuaciones con valor absoluto radianes $1120 Definición: «a Si 2x d x — í 3.2 3. ln B = (ln 16) (8) InB = ln 16* B = 16* B = 4,294,967,295 bacterias A p é n d ic e D Se denota esta función por y = [ jc ] Ejemplo 20 [3.8] 6 La gráfica de f(x) = El costo dé puesta a punto de las máquinas para producir las tablas es de $200 por máquina. WU = 8400 y = \Jex • In ( y ) -7 Al hacer y " = 0, obtenemos: = 2y _ 376 3*2*1 Lo anterior puede generalizarse mediante el siguiente teorema: Unos pasos se deben realizar en estricto orden y otros no; para evitar confusiones y facilitar el aprendizaje, procuraremos seguir este orden esta­ blecido33 . 0 9 Pi : Cuando se trabaja con distribuciones de probabilidad continua, la probabili­ dad se interpreta com o un área, por esta razón calcular probabilidades es equivalente a calcular áreas. 7 . d) y' WebSe analizaron las conexiones matemáticas que establece un futuro profesor de matemáticas cuando resuelve un problema de aplicación sobre derivadas. V — 5* + 6 < 0 c) Represente sobre una misma recta numérica los siguientes números: a) 9 R- {1,2} 39 b) ¿Es asociativa? De hecho, esverdaderoque para nú­ meros reales cualesquiera a ,b y c (a + 112 — = (-0.0001216) y dt ¿Qué edad tiene un objeto en el que se ha desintegrado el 95% del carbono 14? y Función inversa — ¿A qué velocidad se alarga su sombra? El éxito de las demostraciones estará en el eficaz cumplimiento de estos pasos. ALGEBRA BASICA 63 De acuerdo a la figura, el significado de “ área bajo una curva” es real­ mente el área entre la curva y el eje X. Dependiendo del lugar donde está si­ tuada podría ser positiva o negativa. Ejemplo 6 Considere la ecuación de la demanda del ejemplo 2, 40p = 5000 — 150.x. de , — — = c (x) dx dR (y -fe )2 c) 2 lím F(x) = 6 x-*-2~ c) z 4 3 Escriba en forma simbólica y demuestre la validez del siguiente argumen­ to: Si 3 es impar, entonces 2 no divide a 9 7 no es primo o 2 divide a 9 7 es primo luego 3 es par Sean t Ejercicios y problemas Si puede recorrer la playa a una velocidad de V (_ 1’ 2>t ) A = a 2l Ct = 150,000 (1 + 0.045 )20 Ct = 361,757.10 Si el interés se capitalizara continuamente, el saldo total al final del año vendría dado por la expresión. 8 -20 2 Al morir los organismos vivos, la can­ tidad de carbono 14 empieza a disminuir con respecto a la del carbono ordinario. no es un número real, entonces la ecuación no tiene solu­ * 2 + jc — 2 i) Recuerde que: 1. a* + b = 0 es la forma estándar de una ecuación lineal o de primer grado. B = Vector columna: Se denomina así a una matriz B de orden m X l y en forma general se escribe: &n &21 &3I O 5 2* —4 —x + 7 b y =1 Luego 1.200.000 = 1,200,000 + 240,000* - 75,000* - 1 5 ,0 0 0 * 2 de donde 1 simplificado : a? h) —2 x+ 2 Observe que ambos elementos de la fracción, fueron elevados a la misma potencia; 3 en este caso. M A TEM A TIC A S U N IV ER SITA R IA S 8 2 — Si el costo total al producir x unidades es c(#) = 3000 + 10#, ¿cuál es la utilidad marginal al producir 40 unidades? 5 9 ,, b) 340 Primero obtenemos el 1 de la primera columna. R2: V 2 — V 4 — Jc = y/5+ y/2 M A TEM A TIC A S U N IV ER S ITA R IA S 4.3 3 17 1 17 J V (O, 5) a) (60,190) b) (30,200) c) (40,1229.98) Observación: La definición de a * b * c depende del orden en que se escri­ ban a ,b y c. Así, no aseguramos que a * b * c = b * a * c = b * a * c , aun­ que es posible que esta igualdad se verifique en algunos casos especiales. Conectivos lógicos. Hemos visto que podemos representar sobre la recta numérica, enteros; racionales, irracionales, positivos, negativos, es decir, cualquier número real. Df = R - { 0 ( , Ejemplo 11 Divida: 1. ~3~ 2 Los números complejos se deben a Bombelli, italiano del Siglo XVI, a quien se tiene como un precursor; sin embargo, fue el danés C. Wesseí quien dio uná interpretación geométrica de los mismos representándolos como un punto del plano. 5 Figura 11.4 Función logaritmo natural. 3. = 6. a) X ' No tiene solución f) x = — 4 x = 0; x = — 4 (solución aparente) x = 0; x = — 4 (soluciones aparentes) x= x = X= x= x= D= Lipschutz, Seymour. = p (* + A x ) - p ( x ) = 30,000 + 200 (x + Ax) - [30,000 + 200*] = 200* + 200A* — 200* o 1x de R$ 329,00 À vista. Utilidad = ingresos — costos totales. -^ = 200 6 y = 1 ,2 0 0 se producirán 1,200 unidades de salchichón corriente. 110 2. Esto es, |* |> 1 implica que x > 1 o * < —1. =7 = WebDownload Free PDF. 2X3 4x2 + 3x 2*+3=0 = — = tang 9 x X 341 _ 1 l x + 1 = 5(¿c2 - 1 ) I x + 1 = 5jc2 - 5 —5jc2 + 7 * + 6 = 0 5x2 - I x - 6 = 0 Ahora, utilizando la fórmula, obtenemos: x = 7 í V 4 9 —4 -5 (~ 6 ) v b) |y = 6 — 2* y = * J — 2* + 2 c) — Ax A 2 8,6m^seg Figura 3.6 Representación de los irracionales. NUM EROS 2.2 2.6 Argumentos lógicos y = - y !? Igualmente, (a, b] = \x G R / a < x < b }. En la ecuación (6.10) es claro que a medidú ^ue aumenta él preció, baja el número de artículos que se demandan del miaño, mientras que en la ecua­ ción (6.11) ocurre lo contrario; a medida que él precio aumenta, el número de artículos que se ofrecen en el mercado también aumenta. La gráfica de f(x) = y estaban infectados al final de la primera semana; y al final de la cuarta, 3 — ; ¿qué fracción de los residentes susceptibles habían sido infectados 5 al final de la octava semana? 1 + 5 (8) Como no hay factores comunes, no es posible simplificar. (V * + 13)2 = ( 2 + v ^ P r x )2 Obtenemos x + 13 = 4 + 4 y/1 — x + (7 — x) ordenando, 2x + 2 = 4 y/7 — x Elevamos nuevamente al cuadrado para eliminar el radical (2 x + 2)2 = ( 4 n/ T = x ) 2 obtenemos, 4x2 + 8 x + 4 = 16 ( 7 - x ) 4x2 + 8 x + 4 = 1 1 2 - 1 6 x x2 + 6x — 27 = 0 (x — 3) (x + 9) = 0 x = 3 y x = —9 Al remplazar en la ecuación inicial el valor de x por 3, vemos que efecti­ vamente es una solución de la ecuación, mientras que no sucede lo mismo con el valor x = —9. tipos de vocación religiosa, yeso de colores para fracturas, facultad de medicina unsa, distribuidor de kola real, ergonomía en el trabajo slideshare, ruta de perú a estados unidos por tierra, jugos para combatir la próstata inflamada, que tipo de personalidad tiene v de bts, noticias de muertes recientes en méxico, sulfato ferroso presentación gotas, mochila quechua pequeña, catálogo de guías de práctica clínica, transporte de nutrientes en el sistema digestivo, microentorno de un salón de belleza, tipos de robos código penal, www unir net acceso estudiantes, practica calificada individuo y medio ambiente utp, ley servir 30057 actualizada 2022, pastillas abortivas cusco, 1000 bosquejos para predicadores, closet portátil promart, drep piura boletas de pago, concurso de acceso a cargos directivos 2022, cómo afrontar la violencia contra la mujer, examen directo o interrogatorio, rastreo de encomiendas civa, limón y bicarbonato en las axilas toda la noche, selección de proveedores, la escuela en el futuro y la formación afectiva, como hacer un tronco de navidad casero, universidad señor de sipán arquitectura, texto escolar de comunicación 5to de secundaria minedu 2022, boleto turístico cusco btc, propiedades vitaminas y minerales del limón, muñequeras deportivas con peso, insulina basal valores, capital de trabajo flujo de caja, como saber las notas de mi hijo por internet, promociones star perú, contratos modernos empresariales, artículos de física 2022, ingeniería electrónica senati, canje puntos ripley catálogo perú, temas para tesis de comercio internacional 2022, diseño curricular nacional primaria, la caigua se puede comer cruda, propuestas para mejorar la salud pública en argentina, universidad la cantuta carreras profesionales, cuantas veces puedo dar el enam, ford ecosport 2015 precio perú, roberto bolaño frases, dove men+care invisible dry, citas hospital santa rosa pueblo libre, derecho administrativo pucp, que significa chill en argentina, tesis de doctorado en administración pdf, tamaño del mercado panameño, identificación de aniones y cationes, conclusión de educación intercultural bilingüe, dr solis gastroenterologo ica, origen de la creencia de la inmortalidad del alma, liderazgo empresarial ppt, modelo poder especial para trámites, bioequivalencia ejemplos, ejemplos de obligaciones de dar, problemas de animales callejeros, leche ideal cremosita, bepanthen crema que contiene, modelo de contestación de proceso administrativo disciplinario, cuantas horas son de tacna a arequipa en auto, marketing para librería, precio del pollo hoy 2022 perú, phantom paco rabanne 50ml, ministerio del ambiente perú, que materias lleva la carrera de turismo y hotelería, guía para ganar masa muscular, como calcular el impuesto a la renta en excel, unsaac cepru resultados primer examen 2021, ittsa encomiendas horario de atención,

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